C: Projekter - om tryk og trækstyrke

C3: Bjælkers blødhed: Øvelser i modeldannelse

Øvelserne går ud på at beskrive, hvordan bjælkers blødhed ændrer sig, når dimensionerne ændres. Når man skal finde en model for, hvordan en bjælke opfører sig, er det vigtigt kun at ændre én størrelse ad gangen.

Variation af længden

Som bjælke kan man fx vælge en meterstok af træ. Eller andre bjælker.

Hvis bjælken med tilnærmelse følger Hookes lov x = b · F, hvor x er nedbøjningen, F er kraften, der belastes med, og b er blødheden, så kan vi nøjes med at måle en enkelt nedbøjning og kraft for hver længde. Blødheden kan så regnes ud som b = x/F. Det er smart at gøre dette på en lommeregner.

L1 L2 L3 L4
Længde/mm F / N x / mm b = L3 / L4
       
       
       
       
  • Overvej og forklar, at det er godt nok kun at foretage én måling pr. længde for at finde blødheden.
  • Overvej og forklar, at det ikke er nødvendigt at bruge samme kraft til alle målinger.

Teori

Man kan gætte på, at blødheden er proportional med længden i en eller anden potens. Så er formlen for blødheden på formen:

b = a · l n

hvor l er længden.

Opgaven går ud på at undersøge, om dette er tilfældet, og i givet fald at bestemme konstanten, a, og eksponenten, n.

Databehandling

  • Prøv at finde eksponenten ved at lave grafiske afbildninger af typen:
    ( x , y ) = ( l 2 , b )
    ( x , y ) = ( l 3, b ) osv.
    indtil grafen skifter krumning. Bliv ved, indtil den krummende tendens i målingerne skifter retning, lad gerne n være ikke-hele tal. Skitsér hver graf på en lille tegning til rapporten.
  • Den graf, hvor punkterne bedst danner en ret linie, skal gengives særligt omhyggeligt - brug mm-papir eller lav et print af grafregnerens vindue.
  • Brug grafen til at finde en værdi for konstanten, a.
  • Opskriv formlen for blødheden.

Besvar følgende spørgsmål

  • Hvad sker der med blødheden hvis længden fordobles? tredobles?
  • Hvor mange procent skal længden ændres, for at blødheden fordobles?

Variation af bredde og højde

Disse forsøg udføres næsten på samme måde, som ved variation af længden. Derfor er der i det følgende blot stikord til forsøgenes udførelse.

  • I et byggemarked kan man købe fyrretræslister i dimensionerne: 8x16, 8x21, 8x27, 8x33 mm. Disse kan lægges fladt eller på højkant, når man undersøger afhængigheden af hhv. bredde og højde.
  • Blødheden vokser, som vi har set, med længden. Overvej og forklar, at blødheden nok falder med bredden og højden. Tænk fx på, hvordan den samlede blødhed vil være for to ens bjælker, der er lagt ved siden af hinanden. Dette medfører, at eksponenten, som man tester med, skal være negativ.
  • Hvis man kommer så langt med sine forsøg, at man har tre formler for blødheden, der viser afhængigheden af de tre dimensioner af bjælken, er det interessant at se, om man kan skrive dem sammen til én formel. Overvej (svært), hvordan sådan en formel skal se ud.

Tak til Ole Trinhammer, Rungsted Gymnasium, for inspiration til denne øvelse.