E: Grafregneropgaver med nedbøjning

E1: Nedbøjning

En meterstok spændes fast i den ene ende, og belastes med lodder eller kraftmåler i den anden.

Der gælder da, at nedbøjningen x som funktion af afstanden z fra fastgøringspunktet er givet ved :

hvor F er kraften, L er den samlede længde, w er bredden, h er højden og E er Youngs modul, der er en materialekonstant.

Linealen har følgende højde: h = 0,025 m og bredde: w = 0,005 m.

I et forsøg har man valgt L = 0,50 m og belastningen var m = 0,70 kg . Man målte følgende værdier:

z/ m 0,15 0,20 0,35 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
x/ m 0,007 0,013 0,020 0,028 0,037 0,046 0,055 0,065
  1. Brug grafregneren til at undersøge om x er et tredjegradspolynomium i z:

x = a·z3 + b·z2 + c·z + d

    hvor c = d = 0, og b/a = -3·L. Brug a til at beregne E.

I en ny undersøgelse interesserer man sig udelukkende for nedbøjningen i den frie ende.

  1. Vis, at nedbøjningen i den frie ende - dvs. for z = L - er givet ved.

I forsøget er linealen belastet med en masse på m = 0,500 kg. Nedbøjningen er målt som funktion af L

L/ m 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
x/ m 0,046 0,080 0,127 0,189 0,270
  1. Undersøg, om x er proportional med L3. Bestem E ud fra målingerne. Ser det rimeligt ud?
  2. Beregn nedbøjningen for en lineal med samme E og
    L = 0,70 m , m = 0,50 kg, h = 0,025 m og w = 0,01 m.

Hvis man i stedet havde lagt linealen med støttepunkter i begge ender og målt nedbøjningen på midten, ville formlen for nedbøjningen se sådan ud :

  1. Vis, hvordan man kommer fra udtrykket i b til det ovenstående udtryk ved at opfatte linealen som to linealer. Beregn nedbøjningen, hvis L = 0,90 og m = 1,0 kg.