Opgave 14: Mørkt stof i Mælkevejen

På figuren ses en tegning af Mælkevejen med Solens placering. I vores afstand fra centrum er alle stjerner – også Solen – ca. 200 mio. år om at fuldføre et omløb. Solen er ca. 25.000 lysår fra centrum, og den har en hastighed på mere end 200 km/s i sit omløb om centret.

For Mælkevejen har man målt en såkaldt rotationskurve. (Se figuren). En rotationskurve angiver stjernernes fart i deres jævne cirkelbevægelse rundt om Mælkevejens centrum. En stjernes fart er bestemt af den masse, der befinder sig indenfor stjernens afstand fra centrum. Og det er vel at mærke al massen – både den der kan ses, og den der ikke kan ses, dvs. mørkt stof! Rotationskurven for Mælkevejen kan derfor fortælle os om eksistensen af mørkt stof i Mælkevejen.

Spiralstrukturen af Mælkevejsgalaksen, som den ville tage sig ud i nogle millioner lysårs afstand - set med tegnerens øjne.

 

Keplers 3. lov giver følgende sammenhæng mellem en stjernes omløbstid T og dens afstand fra centrum r:

Her er G gravitationskonstanten og M er den samlede masse inden for afstanden, r.

Rotationskurve for Mælkevejen. (1 pc = 3,086 · 1016 m)

For en stjernes fart v i cirkelbevægelsen rundt om Mælkevejens centrum gælder: at

  1. Vis, at der gælder:

  1. Indsæt værdierne for Solen i ligning (5), og beregn derved den masse, der befinder sig inden for Solens afstand fra Mælkevejens centrum. (Angiv facit i enheder af Solens masse).

  1. Vis, at der gælder:

.

  1. Tegn v som funktion af r for r> 25.000 lysår under antagelse af, at M ikke ændres væsentligt, når r bliver større end 25.000 lysår. Sammenlign denne kurves forløb med den observerede rotationskurve. Kommentér antagelsen om uændret M for r > 25.000 lysår.

Som det fremgår af figuren, fås næsten konstante værdier af v for voksende afstande fra Mælkevejens centrum.

  1. Antag at v er konstant og benyt ligning (5) til at tegne en graf, der viser, hvorledes M så vil afhænge af r for store afstande (r > 25.000 lysår).

  2. Forklar, hvorfor denne graf tyder på eksistensen af mørkt stof i Mælkevejen. (Sammenlign f.eks. M(r) for r = 25.000 lysår og r = 50.000 lysår).